IEやEdgeは消滅した方がいいと思うくらいのブラウザですが、企業ではIEが標準ブラウザのところも多く日々苦戦しています。
そのような中、Edgeのみ発生する現象の修正依頼がありました。

ファビコンの設定自体は問題なかったので、色々調べていると、
①拡張子がicoかつ透過処理がされているファビコン
⇒Edgeのみ表示できない
②拡張子がicoかつ透過処理がされていないファビコン
⇒すべてのブラウザで表示可能
③拡張子がpngかつ透過処理がされているファビコン
⇒Edgeのみ、透過処理がされていない状態で表示
④拡張子がpngかつ透過処理がされていないファビコン
⇒すべてのブラウザで表示可能
このような動きでした。
ご依頼のサイトも①のパターンでした。
とりあえずPNGにしよう、で解決です。

また、Edgeはローカルファイルではファビコンが表示されないというバグもあるようで、Edgeのトラップに見事にはまりました。
きちんとWEBサーバ上で確認をしないといけないようです。